Un jeu collaboratif avec deux dés

On considère deux dés cubiques équilibrés `\text{A}` et `\text{B}`.
Les faces du dé \(\text{A}\) sont numérotées de la façon suivante : \(4~;4~;4~;4~;0~;0\).
Les faces du dé \(\text{B}\) sont numérotées de la façon suivante : \(6~;6~;2~;2~;2~;2\).
Un jeu se joue à deux joueurs : à chaque tour, l'un lance le dé `\text{A}` puis l'autre lance le dé `\text{B}`.
Les joueurs gagnent lorsque la somme des issues des deux lancers est égale à `10`.

Partie A : étude de l'expérience aléatoire

1. À première vue, la probabilité de gagner semble-t-elle plus grande, plus petite ou égale à \(0{,}5\) ?
2. On appelle `S` la somme des nombres inscrits sur les deux dés à l'issue d'un tour. Donner toutes les valeurs que peut prendre `S`.
`S` est une variable aléatoire : c'est la variable aléatoire qui à toute issue du jeu associe la somme des nombres inscrits sur les deux dés. 
3. Compléter l'arbre ci-dessous.

4. Déterminer la probabilité que les joueurs gagnent à ce jeu et la comparer à la réponse donnée à la question 1.

Partie B : vers la loi de probabilité
5. Compléter le tableau suivant : les cases de la première ligne contiennent les valeurs possibles de la variable `S` et les cases de la deuxième ligne contiennent chacune la probabilité que `S` prenne la valeur inscrite dans la case correspondante de la première ligne.
\(\begin{array}{|r|c|c|c|c|l|}\hline \text{Valeurs prises par } S & \ \ \ & \ \ \ & \ \ \ & \ \ \ & \ \ \ \\ \hline \hline \text{Probabilité} & \\ \hline \end{array}\)
Ce tableau s'appelle loi de probabilité de la variable aléatoire \(S\).

6. La notation `P(S=10)` se lit « la probabilité que la variable `S` prenne la valeur `10` ».
    a. Écrire la notation correspondant à « la probabilité que la variable `S` prenne la valeur `4` », puis donner sa probabilité.
    b. Comment se lisent les notations `P(S>4)` et \(P(S \geqslant 4)\) ? Donner leurs probabilités.

Partie C : espérance de la variable aléatoire

7. Le tableur suivant simule \(100\) parties de ce jeu.
    a. Écrire dans la cellule \(\text{D2}\) la formule permettant de calculer la somme \(S\) des issues des deux dés lors de la première partie. Puis étirer la cellule pour afficher la somme des issues de chacune des \(100\) parties.
    b. Dans la cellule `\text{G1}`, écrire la formule permettant de calculer la moyenne des `100` issues de la partie.
    c. En cliquant sur l'icône de réinitialisation (voir ci-dessous), le tableur simule \(100\) nouvelles parties. En simulant plusieurs fois les \(100\) lancers, observer les valeurs de la moyenne. Commenter cette observation. 

    d. Multiplier chacune des cinq valeurs que `S` peut prendre par sa probabilité, puis additionner les cinq produits obtenus. Le nombre obtenu s'appelle espérance de la variable aléatoire `S`.  
    e. Conjecturer une relation entre la moyenne des \(100\) valeurs obtenues lors de la répétition de l'expérience au tableur et l'espérance de la variable aléatoire \(S\).